Question

類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）概念理解

如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件.

（2）問題探究

    ①小紅猜想：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形.她的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由。

    ②如圖2，小紅畫了一個(gè)Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿

∠ABC的平分線BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，連結(jié)AA＇，BC＇.小紅要是平移后的四邊形ABC＇A＇是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB＇的長(zhǎng)）？

（3）應(yīng)用拓展

    如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD為對(duì)角線，AC=AB.試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系.

 

 

Answer 1

解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任寫一個(gè)即可）；

（2）①正確，理由為：

∵四邊形的對(duì)角線互相平分，∴這個(gè)四邊形是平行四邊形，

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，

∴這個(gè)“等鄰邊四邊形”是菱形；

 

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC=，

∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，

（I）如圖1，當(dāng)AA′=AB時(shí)，BB′=AA′=AB=2；

（II）如圖2，當(dāng)AA′=A′C′時(shí)，BB′=AA′=A′C′=；

（III）當(dāng)A′C′=BC′=時(shí)，

如圖3，延長(zhǎng)C′B′交AB于點(diǎn)D，則C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，

∴B′D=B，

設(shè)B′D=BD=x，

則C′D=x+1，BB′=x，

∵在Rt△BC′D中，BD²+（C′D）²=（BC′）²

∴x²+（x+1）²=（）²，

解得：x₁=1，x₂₌﹣2（不合題意，舍去），

∴BB′=x=，

（Ⅳ）當(dāng)BC′=AB=2時(shí)，如圖4，

與（Ⅲ）方法一同理可得：BD²+（C′D）²=（BC′）²，

設(shè)B′D=BD=x，

則x²+（x+1）²=2²，

解得：x₁₌，x₂₌（不合題意，舍去），

∴BB′=x=；

 

（3）BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系為：BC²+CD²=2BD²，如圖5，

∵AB=AD，

∴將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，

∴△ABF≌△ADC，

∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，

∴∠BAD=∠CAF，==1，

∴△ACF∽△ABD，

∴==，∴BD，

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，

∴∠ABC+∠ABF=270°，

∴∠CBF=90°，

∴BC²+FB²﹣CF²=（BD）²=2BD²，

∴BC²+CD²=2BD²．