Question

設(shè)m，n是給定的整數(shù)，4＜m＜n，A₁A₂…A_2n+1是一個(gè)正2n+1邊形，P={A₁，A₂，…，A_2n+1}．求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：先證一個(gè)引理：頂點(diǎn)在P中的凸m邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰．由引理知，若凸m邊形中恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，則它們對應(yīng)的頂點(diǎn)相鄰．再分頂點(diǎn)全在劣弧上，頂點(diǎn)全在優(yōu)弧上討論即可求解．

解答：解：先證一個(gè)引理：頂點(diǎn)在P中的凸m邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰．
事實(shí)上，設(shè)這個(gè)凸m邊形為P₁P₂P_m，只考慮至少有一個(gè)銳角的情況，此時(shí)不妨設(shè)∠PmP1P2＜

π

2

，則∠P2PjPm=π-∠P2P1Pm＞

π

2

(3≤j≤m-1)，
更有∠Pj-1PjPj+1＞

π

2

(3≤j≤m-1)．
而∠P₁P₂P₃+∠P_m-1P_mP₁＞π，故其中至多一個(gè)為銳角，這就證明了引理．
由引理知，若凸m邊形中恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，則它們對應(yīng)的頂點(diǎn)相鄰．
在凸m邊形中，設(shè)頂點(diǎn)A_i與A_j為兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，且在這兩個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角均為銳角．
設(shè)A_i與A_j的劣弧上包含了P的r條邊（1≤r≤n），這樣的（i，j）在r固定時(shí)恰有2n+1對．
（1）若凸m邊形的其余m-2個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧A_iA_j上，而A_iA_j劣弧上有r-1個(gè)P中的點(diǎn)，此時(shí)這m-2個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為C_r-1^m-2．
（2）若凸m邊形的其余m-2個(gè)頂點(diǎn)全在優(yōu)弧A_iA_j上，取A_i，A_j的對徑點(diǎn)B_i，B_j，由于凸m邊形在頂點(diǎn)A_i，A_j處的內(nèi)角為銳角，
所以，其余的m-2個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧B_iB_j上，而劣弧B_iB_j上恰有r個(gè)P中的點(diǎn)，此時(shí)這m-2個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為C_r^m-2．
所以，滿足題設(shè)的凸m邊形的個(gè)數(shù)為

(2n+1) n r=1 ( C m-2 r-1 + C m-2 r )=(2n+1)( n r=1 C m-2 r-1 + n r=1 C m-2 r ) =(2n+1)( n r=1 ( C m-1 r - C m-1 r-1 )+ n r=1 ( C m-1 r+1 - C m-1 r ))

=（2n+1）（C_n+1^m-1+C_n^m-1）．
故頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)為：（2n+1）（C_n+1^m-1+C_n^m-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了排列與組合問題，注意分類思想的運(yùn)用，以及引理：頂點(diǎn)在P中的凸m邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰的證明，難度較大．