Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點，E是BC上的一點，以EC為直徑的⊙O經(jīng)過點D，OA⊥CD于點F．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若OF=1，BE=EO，求BD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由OC=OD得∠ODC=∠OCD，再根據(jù)垂徑定理由OA⊥CD得FD=FC，則OA垂直平分DC，所以AD=AC，得到∠ADC=∠ACD，則∠AOC=∠AOD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得AB是⊙O的切線；
（2）由于BE=OE=OD，則OB=2OD，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠B=30°，∠BDO=60°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠OCD=

1

2

∠BOD=30°，
利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△OCF中計算出OC=2OF=2×1=2，在Rt△BOD中計算出BD=

3

OD=2

3

．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵OA⊥CD，
∴FD=FC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ODC+∠ADC=∠OCD+∠ACD，
即∠AOC=∠AOD，
而∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：∵BE=OE=OD，
∴OB=2OD，
又∵∠BDO=90°，
∴∠B=30°，∠BDO=60°，
∴∠OCD=

1

2

∠BOD=30°，
在Rt△OCF中，OC=2OF=2×1=2，
在Rt△BOD中，OD=2，
∴BD=

3

OD=2

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．