Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)M（0，-3），⊙M與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn) B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C、E；拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)；
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）試探究：當(dāng)a取何值時(shí)，拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）的對(duì)稱軸與⊙M相切？
（3）當(dāng)點(diǎn)D在第四象限內(nèi)時(shí)，連接BC、BD，且tan∠CBD=

1

2

．
①試確定a的值；
②設(shè)此時(shí)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)F，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)T，使|TM-TF|達(dá)到最大，請(qǐng)求出最大值與點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接MA，分別求得OC、OM、MC、MA后即可得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，并表示出其對(duì)稱軸，根據(jù)切線的性質(zhì)得到a的值即可；
（3）①利用兩角的正切值相等可以得到兩個(gè)角相等，并利用BD⊥AB得到-2+

1

a

=4并求得a的值即可；
②由對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)F的坐標(biāo)是（12，0），再由對(duì)稱性，TF=TA，則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，因此，當(dāng)點(diǎn)T是MA的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，|TM-TF|達(dá)到最大，最大值是5；據(jù)此可以求得點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答：解：（1）連接MA，由題意得：OC=8，OM=3，MC=8-3=5，則MA=5，
∴OA=OB=4，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0）、（0，-8），…（6分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴0=16a-4b-8，
∴b=4a-2；
此時(shí)，y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0），
它的對(duì)稱軸是直線：x=-

4a-2

2a

=-2+

1

a

；
要使拋物線的對(duì)稱軸與⊙M相切，則-2+

1

a

=±5，
當(dāng)a=

1

7

或a=-

1

3

時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸與⊙M相切；…（4分）

（3）①在Rt△BOC中，tan∠BCO=

4

8

=

1

2

，又tan∠CBD=

1

2

，
則∠BCO=∠CBD，
∴BD∥OC，
又∵OC⊥AB，
∴BD⊥AB，
即得：-2+

1

a

=4，
∴a=

1

6

；…（2分）
②如答圖，由對(duì)稱性，此時(shí)，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)F的坐標(biāo)是（12，0），
由三角形的兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)可知：|TM-TF|≤MF，要使|TM-TF|達(dá)到最大，
則點(diǎn)T應(yīng)在線段MF的延長(zhǎng)線，但不可能同時(shí)在拋物線的對(duì)稱軸上，
故達(dá)不到最大值是線段MF的長(zhǎng)；
而由對(duì)稱性，TF=TA，則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，
因此，當(dāng)點(diǎn)T是MA的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，|TM-TF|達(dá)到最大，最大值是5；
∵BD∥OC，又OA=OB，
∴BT=6，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)是（4，-6）；[也可求出MA所在直線的一次函數(shù)，再求點(diǎn)T坐標(biāo)]…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．