Question

【題目】已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，過點C作CD⊥AB于點D，點E是AB邊上一動點（不含端點A、B），連接CE，過點B作CE的垂線交直線CE于點F，交直線CD于點G（如圖①）．

（1）求證：AE=CG；
（2）若點E運動到線段BD上時（如圖②），試猜想AE、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請直接寫出你的結(jié)論；

（3）過點A作AH垂直于直線CE，垂足為點H，并交CD的延長線于點M（如圖③），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD．
在△BCG和△ACE中
，
∴△BCG≌△ACE（ASA），
∴AE=CG
（2）解：不變．AE=CG．
理由：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD．
在△BCG和△ACE中
，
∴△BCG≌△ACE（ASA），
∴AE=CG
（3）解：BE=CM，
：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵AH⊥CE，
∴∠AHC=90°，
∴∠HAC+∠ACE=90°，
∴∠BCE=∠HAC．
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC．
在△BCE和△CAM中
，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴BE=CM
【解析】（1）要證AE=CG，需證它們所在的三角形全等，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE；（2）借鑒（1）的思路方法，仍運用全等法，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；（3）借鑒（2）的思路，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；F，交直線CD于點G．