Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是直線AB上的一動點（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F．
（1）點D在邊AB上時，試探究線段BD，AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）點D在AB的延長線或反向延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請直接寫出正確結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：探究型

分析：（1）易證∠FBA=∠FCE，結(jié)合條件容易證到△FAB≌△DAC，從而有FA=DA，就可得到AB=AD+BD=FA+BD．
（2）由于點D的位置在變化，因此線段AF、BD、AB之間的大小關(guān)系也會相應(yīng)地發(fā)生變化，只需畫出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題．

解答：解：（1）AB=FA+BD．
證明：如圖1，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC．
在△FAB和△DAC中，

∠FAB=∠DAC AB=AC ∠FBA=∠DCA

．
∴△FAB≌△DAC（ASA）．
∴FA=DA．
∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的結(jié)論不成立．
點D在AB的延長線上時，AB=AF-BD；點D在AB的反向延長線上時，AB=BD-AF．
理由如下：
①當(dāng)點D在AB的延長線上時，如圖2．

同理可得：FA=DA．
則AB=AD-BD=AF-BD．
②點D在AB的反向延長線上時，如圖3．

同理可得：FA=DA．
則AB=BD-AD=BD-AF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，當(dāng)條件沒有改變僅僅是圖形的位置發(fā)生變化時，常�？梢酝ㄟ^借鑒已有的解題經(jīng)驗來解決問題．