Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，點E是邊BC的中點．
（1）求證：BC²=BD•BA；
（2）判斷DE與⊙O位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）通過證明△BCD∽△BAC，利用相似比得到結論；
（2）連結DO，如圖，根據直角三角形斜邊上的中線性質，由∠BDC=90°，E為BC的中點得到DE=CE=BE，則利用等腰三角形的性質得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根據切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切．

解答：（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BDC，
又∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，
即BC²=BA•BD；
（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：
連結DO，如圖，
∵∠BDC=90°，E為BC的中點，
∴DE=CE=BE，
∴∠EDC=∠ECD，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE與⊙O相切．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質和相似三角形的判定與性質．