Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間t（s），解答下列各問題：
（1）經(jīng)過 秒時，求△PBQ的面積；
（2）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：經(jīng)過 秒時，AP= cm，BQ= cm，

∵△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，

∴AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=3﹣ = cm，

∴△PBQ的面積= BPBQsin∠B= × × × =

（2）解：設經(jīng)過t秒△PBQ是直角三角形，

則AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（3﹣t）cm，

△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當∠BQP=90°時，BQ= BP，

即t= （3﹣t），t=1（秒），

當∠BPQ=90°時，BP= BQ，

3﹣t= t，t=2（秒），

答：當t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形

（3）解：過P作PM⊥BC于M，

△BPM中，sin∠B= ，

∴PM=PBsin∠B= （3﹣t），

∴S△PBQ= BQPM= t （3﹣t），

∴y=S△ABC﹣S△PBQ= ×32× ﹣ ×t× （3﹣t）

= t2﹣ t+ ，

∴y與t的關系式為y= t2﹣ t+ ，

假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的 ，

則S四邊形APQC= S△ABC，

∴ t2﹣ t+ = × ×32× ，

∴t2﹣3t+3=0，

∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，

∴方程無解，

∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的 ．

【解析】（1）根據(jù)路程=速度×時間，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面積公式進行解答即可；（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可．（3）本題可先用△ABC的面積﹣△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數(shù)關系式，然后另y等于三角形ABC面積的三分之二，可得出一個關于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可