Question

如圖，△ABC中，AC＞AB，D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是∠CAD的平分線上一點(diǎn)，EB=EC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）求證：△EGB≌△EFC；
（2）若AB=3，AC=5，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）求出∠EFC=∠EGB=90°，EF=EG，根據(jù)HL推出兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出GB=FC，根據(jù)勾股定理求出AF=AG，求出AG，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，EG⊥AD，
∴∠EFC=∠EGB=90°，EF=EG，
∵在Rt△EGB和Rt△EFC中

EB=EC EG=EF

，
∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）；

（2）解：∵△EGB≌△EFC，
∴GB=FC，EG=EF，
在Rt△EGA和Rt△EFA中

EA=EA EG=EF

，
∴Rt△EGA≌Rt△EFA
∴AF=AG，
∵AG+AB=AC-AF，
∴AF+AB=AC-AF，
∴2AF=AC-AB=5-3=2，
∴AF=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△EGB≌△EFC和Rt△EGA≌Rt△EFA是解題關(guān)鍵．