Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，把△ABC進(jìn)行折疊，使點(diǎn)B落在直線AC上距點(diǎn)C為2的點(diǎn)B′處，折痕分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H、P、Q，則HP：HQ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：在解答時(shí)分為兩種情況：①當(dāng)B'在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，連結(jié)B'H，作MH⊥BC交AB于M．②當(dāng)點(diǎn)B'在線段AC上時(shí)，如圖2，連結(jié)B'H，作QM⊥BC于M，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以得出HB=HB′，在Rt△B′CH中，由勾股定理就可以求出BH，CH，由∠CPH=∠CBB'就可以得出

CH

CP

=

2

4

．根據(jù)平行線的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：①當(dāng)B'在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，連結(jié)B'H，作MH⊥BC交AB于M．
∴∠MHB=90°．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠MHB=∠ACB．
∴∠HMB=45°．
∴∠HMB=∠CBA，
∴HM=HB．
∵△HLB′和△HLB關(guān)于HL對(duì)稱，
∴BH=B'H，
∴BH=MH=B'H．
設(shè)BH=MH=B'H=x，則CH=4-x，在RT△HCB'中，
2²+（4-x）²=x²
∴x=

5

2

，CH=

3

2

，
∵∠CPH=∠CBB'，∠PCH=∠BCB′=90°
∴tan∠CPH=

CH

PC

=tan∠CBB′=

CB′

CB

∴

CH

CP

=

2

4

．
∴CP=2CH=3
∴AP=1．
∵∠ACB=∠MHB
∴AB∥MH
∴

QP

QH

=

AP

MH

=

2

5

．
設(shè)QP=2a，QH=5a，則PH=3a，
∴

HP

HQ

=

3a

5a

=

3

5

②當(dāng)點(diǎn)B'在線段AC上時(shí)，如圖2，
連結(jié)B'H，作QM⊥BC于M
∵B'，B關(guān)于HQ對(duì)稱
∴HB'=HB
在RT△B'CH中，CB'=2，B'H=BH=x，CH=4-x
由勾股定理得，
2²+（4-x）²=x²
解得：x=

5

2

，
∴CH=

3

2

∵AC=BC，∠ACB=90°，QM⊥BC
∴QM=BM
∵∠HQM=∠B′BC
∴

HM

QM

=

B′C

BC

=

2

4

∴BM=QM=2HM
∴HM=

1

3

HB=

5

6

∵∠PCH=∠HMQ=90°
∴PC∥MQ
∴

HP

HQ

=

CH

HM

=

3 2

5 6

=

9

5

，
綜上所述，∴

HP

HQ

=

3

5

或

9

5

．
故答案為：

3

5

或

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的正切值的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．