Question

設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)．現(xiàn)給出如下結(jié)論：

①過點(diǎn)P至少存在一條直線將△ABC分成周長相等的兩部分；

②過點(diǎn)P至少存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；

③過點(diǎn)P至多存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；

④△ABC內(nèi)存在點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q有兩條直線將其平分成面積相等的四個(gè)部分．

其中結(jié)論正確的是　  　．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】

試題分析：結(jié)論①正確。理由如下：

如答圖1所示，設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l將△ABC分割后，兩側(cè)圖形的周長分別為C₁，C₂（C₁，C₂中不含線段DE），

在直線l繞點(diǎn)P連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程中，周長由C₁＜C₂（或C₁＞C₂）的情形，逐漸變?yōu)镃₁＞C₂（或C₁＜C₂）的情形，在此過程中，一定存在C₁=C₂的時(shí)刻，因此經(jīng)過點(diǎn)P至少存在一條直線平分△ABC的周長。故結(jié)論①正確。

結(jié)論②正確。理由如下：

如答圖1所示，

設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l將△ABC分割后，兩側(cè)圖形的面積分別為S₁，S₂，

在直線l繞點(diǎn)P連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程中，面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變?yōu)镾₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形，在此過程中，一定存在S₁=S₂的時(shí)刻，因此經(jīng)過點(diǎn)P至少存在一條直線平分△ABC的面積。故結(jié)論②正確。

結(jié)論③錯(cuò)誤。理由如下：

如答圖2所示，

AD、BE、CF為三邊的中線，則AD、BE、CF分別平分△ABC的面積，而三條中線交于重心G，則經(jīng)過重心G至少有三條直線可以平分△ABC的面積。故結(jié)論③錯(cuò)誤。

結(jié)論④正確。理由如下：

如答圖3所示，

AD為△ABC的中線，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，MN∥BC，且，MN與AD交于點(diǎn)Q。

∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC。

∴，即MN平分△ABC的面積。

又∵AD為中線，

∴過點(diǎn)Q的兩條直線AD、MN將△ABC的面積四等分。故結(jié)論④正確。

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④。