Question

四個不同的三位整數(shù)的首位數(shù)字相同，并且它們的和能被它們中的三個數(shù)整除，求這些數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)的整除性

專題：

分析：先設(shè)這四個數(shù)為x₁，x₂，x₃，x₄，且它們的和能被其中的x₂，x₃，x₄整除，x₂＜x₃＜x₄；可得（x₁+x₃+x₄）÷x₂=4，同理（x₁+x₂+x₄）÷x₃=3，（x₁+x₂+x₃）÷x₄=2；則4x₃=5x₂=3x₄；可以知道，x₂能被12整除，從而求解．

解答：解：先設(shè)這四個數(shù)為x₁，x₂，x₃，x₄，且它們的和能被其中的x₂，x₃，x₄整除，x₂＜x₃＜x₄；則根據(jù)題意有：
（x₁+x₂+x₃+x₄）÷x₂=1+（x₁+x₃+x₄）÷x₂=N（自然數(shù)），即（x₁+x₃+x₄）÷x₂=N-1，
因為他們的首位數(shù)字相同，
所以N-1應(yīng)該在3附近，
又因為x₂＜x₃＜x₄，
所以（x₁+x₃+x₄）÷x₂=4，
同理（x₁+x₂+x₄）÷x₃=3，
（x₁+x₂+x₃）÷x₄=2；
則4x₃=5x₂=3x₄；
由5x₂=3x₄可得2x₂=3（x₄-x₂），
因為x₄和x₂的首位數(shù)字相同，
所以x₄-x₂最大為99，即x₂最大為148，
且由4x₃=5x₂=3x₄可以知道，x₂應(yīng)該能被12整除，
故x₂可以為108，120，132，144；
進(jìn)而求出x₃為135，150…，x₄為180，200…；
所以x₂只能取為x₂=108，
從而x₃=135，x₄=180，x₁=117，即這四個數(shù)是117，108，135，180．

點評：考查了數(shù)的整除性，本題可設(shè)這四個數(shù)為x₁，x₂，x₃，x₄，且它們的和能被其中的x₂，x₃，x₄整除，x₂＜x₃＜x₄；x₄和x₂的首位數(shù)字相同，所以x₄-x₂最大為99，即x₂最大為148，x₂應(yīng)該能被12整除，得到x₂的值．