Question

如圖，已知P是圓O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，割線PCD交圓O于C，D兩點(diǎn)，弦DF垂直AB于點(diǎn)H，CF交AB于點(diǎn)E．求證：PA•PB=PO•PE．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，得出△DOP∽△ECP，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，從而得出PA•PB=PO•PE．
解答：證明：連接OD，
∵圓心角∠AOD對(duì)于，
是的一半，
而圓周角∠DCF對(duì)應(yīng)，
∴∠AOD=∠DCF，
∵∠DOP=180°-∠AOD，∠ECP=180°-∠DCF，
∴∠DOP=∠ECP，
又∠P為公共角，
∴△DOP∽△ECP，
∴PO：PC=PD：PE，
∴PC•PD=PO•PE，
又PC•PD=PB•PA，
∴PB•PA=PO•PE．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了割線與圓的關(guān)系，弧、弦、圓周角圓心角的關(guān)系等知識(shí)，找出相似三角形是解題的關(guān)鍵步驟．