Question

2013年我國(guó)多地出現(xiàn)霧霾天氣，某企業(yè)抓住商機(jī)準(zhǔn)備生產(chǎn)空氣凈化設(shè)備，該企業(yè)決定從以下兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)進(jìn)行投資生產(chǎn)，方案一：生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本為a元（a為常數(shù)，且40＜a＜100），每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)為120元，每年最多可生產(chǎn)125萬(wàn)件；方案二：生產(chǎn)乙產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本價(jià)為80元，每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)為180元，每年可生產(chǎn)120萬(wàn)件，另外，年銷(xiāo)售x萬(wàn)件乙產(chǎn)品時(shí)需上交0.5x²萬(wàn)元的特別關(guān)稅，在不考慮其它因素的情況下：
（1）分別寫(xiě)出該企業(yè)兩個(gè)投資方案的年利潤(rùn)y₁（萬(wàn)元）、y₂（萬(wàn)元）與相應(yīng)生產(chǎn)件數(shù)x（萬(wàn)件）（x為正整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）分別求出這兩個(gè)投資方案的最大年利潤(rùn)；
（3）如果你是企業(yè)決策者，為了獲得最大收益，你會(huì)選擇哪個(gè)投資方案？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意直接得出y₁與y₂與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)a的取值范圍可知y₁隨x的增大而增大，可求出y₁的最大值．又因?yàn)?0.5＜0，可求出y₂的最大值；
（3）第三問(wèn)要分兩種情況決定選擇方案一還是方案二．當(dāng)2000-200a＞500以及2000-200a＜500．

解答：解：（1）由題意得：
y₁=（120-a）x（1≤x≤125，x為正整數(shù)），
y₂=100x-0.5x²（1≤x≤120，x為正整數(shù)）；

（2）①∵40＜a＜100，∴120-a＞0，
即y₁隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=125時(shí)，y_1最大值=（120-a）×125=15000-125a（萬(wàn)元）
②y₂=-0.5（x-100）²+5000，
∵a=-0.5＜0，
∴x=100時(shí)，y_2最大值=5000（萬(wàn)元）；

（3）∵由15000-125a＞5000，
∴a＜80，
∴當(dāng)40＜a＜80時(shí)，選擇方案一；
由15000-125a=5000，得a=80，
∴當(dāng)a=80時(shí)，選擇方案一或方案二均可；
由15000-125a＜5000，得a＞80，
∴當(dāng)80＜a＜100時(shí)，選擇方案二．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合的應(yīng)用題，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的構(gòu)建是確定數(shù)列模型．