Question

2013年我國多地出現(xiàn)霧霾天氣，某企業(yè)抓住商機準備生產空氣凈化設備，該企業(yè)決定從以下兩個投資方案中選擇一個進行投資生產，方案一：生產甲產品，每件產品成本為a元（a為常數(shù)，且40＜a＜100），每件產品銷售價為120元，每年最多可生產125萬件；方案二：生產乙產品，每件產品成本價為80元，每件產品銷售價為180元，每年可生產120萬件，另外，年銷售x萬件乙產品時需上交0.5x²萬元的特別關稅，在不考慮其它因素的情況下：
（1）分別寫出該企業(yè)兩個投資方案的年利潤y₁（萬元）、y₂（萬元）與相應生產件數(shù)x（萬件）（x為正整數(shù)）之間的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）分別求出這兩個投資方案的最大年利潤；
（3）如果你是企業(yè)決策者，為了獲得最大收益，你會選擇哪個投資方案？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意直接得出y₁與y₂與x的函數(shù)關系式即可；
（2）根據(jù)a的取值范圍可知y₁隨x的增大而增大，可求出y₁的最大值．又因為-0.5＜0，可求出y₂的最大值；
（3）第三問要分兩種情況決定選擇方案一還是方案二．當2000-200a＞500以及2000-200a＜500．

解答：解：（1）由題意得：
y₁=（120-a）x（1≤x≤125，x為正整數(shù)），
y₂=100x-0.5x²（1≤x≤120，x為正整數(shù)）；

（2）①∵40＜a＜100，∴120-a＞0，
即y₁隨x的增大而增大，
∴當x=125時，y_1最大值=（120-a）×125=15000-125a（萬元）
②y₂=-0.5（x-100）²+5000，
∵a=-0.5＜0，
∴x=100時，y_2最大值=5000（萬元）；

（3）∵由15000-125a＞5000，
∴a＜80，
∴當40＜a＜80時，選擇方案一；
由15000-125a=5000，得a=80，
∴當a=80時，選擇方案一或方案二均可；
由15000-125a＜5000，得a＞80，
∴當80＜a＜100時，選擇方案二．

點評：此題屬于一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合的應用題，考查數(shù)列模型的構建，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，解題的構建是確定數(shù)列模型．