Question

如圖，點E是矩形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，G是AF的中點，再連接DG、DE，且DE=DG．
（1）求證：∠DEA=2∠AEB；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度數(shù)．

Answer 1

考點：矩形的性質,等腰三角形的性質,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質可求出AG=DG，所以∠DAG=∠ADG，再利用矩形的性質和三角形的外角和定理即可證明：∠DEA=2∠AEB；
（2）過點作GH⊥DC于H，則∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，所以∠DAE+∠GFH=90°，所以4∠DAE=90°，∠DAE=22.5°，進而得到∠DEA=2∠DAE=45°．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，AD∥BC，
∵RT△ADF中，G是AF中點，
∴GA=GD=GF
∴∠DGF=2∠DAE
∵AD∥BE，
∴∠AEB=∠DAE，
∵DG=DE，
∴∠DEA=∠DGF
∴∠DEA=2∠AEB；

（2）過點作GH⊥DC于H，
∵AD∥GH，G是AF中點，
則GH=

1

2

AD=AB=DC，
又∵DE=DG=GF，
∴易證：Rt△GHF≌Rt△DCE，
∵∠DEA=2∠AEB，
∴∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，
∵∠DAE+∠GFH=90°，
∴4∠DAE=90°，
∠DAE=22.5°，
∴∠DEA=2∠DAE=45°．

點評：本題考查了矩形的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質、全等三角形的判定和性質以及三角形的內角和定理，題目的綜合性較強，難度不大．