Question

如圖，△ABC以AB為直徑，中點(diǎn)O為圓心作圓交BC于P，使BP=CP，作PE⊥AC，求證：PE為切線．（用兩種方法）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：方法一：連接OP，得出OP是△ABC的中位線，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠OPE=90°，即可得出答案；
方法二：連接AP，得出∠OPA=∠PAE，進(jìn)而得出∠PAE+∠APE=90°，即可得出∠OPA+∠APE=90°，得出答案即可．

解答：方法一：
證明：連接OP，
∵O為AB的中點(diǎn)，BP=PC，
∴OP是△ABC的中位線，
∴OP∥AC，
∵∠PEC=90°，
∴∠OPE=90°，
∴PE為⊙O切線；

方法二：
證明：連接AP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∵BP=PC，
∴AB=AC，∠BAP=∠CAP，
∵∠BAP=∠OPA，
∴∠OPA=∠PAE，
∵∠AEP=90°，
∴∠PAE+∠APE=90°，
∴∠OPA+∠APE=90°，
∴PE為⊙O切線．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用切線的判定方法是解題關(guān)鍵．