Question

已知拋物線Y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，拋物線必與x有兩個(gè)交點(diǎn)
（2）m為何值時(shí)，x軸截拋物線的弦長(zhǎng)L為12？
（3）m取什么實(shí)數(shù)，弦長(zhǎng)最小，最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤?（m²+4）²-4×1×（-2m²-12），配方后得到△=（m²+8）²，而m²+8＞0，得到△＞0，即可得到結(jié)論；
（2）令y=0，則x²-（m²+4）x-2m²-12，解方程得到x₁=m²+6，x₂=-2，于是L=x₁-x₂=m²+6-（-2）=m²+8，令L=12得到m²+8=12，解方程即可得到m的值；
（3）由L=m²+8，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題即可得到m=0時(shí)，L有最小值，最大值為8．

解答：解：（1）證明：△=b²-4ac=（m²+4）²-4×1×（-2m²-12）
=（m²+8）²，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，
∴△＞0，
∴不論m取什么實(shí)數(shù)，拋物線必與x有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）令y=0，x²-（m²+4）x-2m²-12，
∴x=

m2+4± (m2+8) 2

2

，
∴x₁=m²+6，x₂=-2，
∴L=x₁-x₂=m²+6-（-2）=m²+8，
∴m²+8=12，解得m=±2，
∴m為2或-2時(shí)，x軸截拋物線的弦長(zhǎng)L為12；
（3）L=m²+8，
∴m=0時(shí)，L有最小值，最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+h）²+k，當(dāng)a＞0，x=-h，函數(shù)有最小值k；當(dāng)△＞0時(shí)，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．也考查了一元二次方程的解法．