Question

如圖所示，已知∠C=90°，AB⊥AC，D、E、B在一直線上，∠ADE=2∠EDC，求證：BE=2AD．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：取BE的中點(diǎn)F，連接AF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=BF=

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BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BAF，在求出AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B=∠EDC，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AFD=2∠B，從而得到∠AFD=∠ADE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=AF，然后等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，取BE的中點(diǎn)F，連接AF，
∵AB⊥AC，
∴AF=BF=

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BE，
∴∠B=∠BAF，
∵∠C=90°，AB⊥AC，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠EDC，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AFD=∠B+∠BAF=2∠B，
∵∠ADE=2∠EDC，
∴∠AFD=∠ADE，
∴AD=AF，
∴AD=

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BE，
∴BE=2AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．