Question

我市某工藝廠為配合北京奧運(yùn)，設(shè)計(jì)了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)x（元/件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）把上表中x、y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）
（3）當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該工藝品銷售單價(jià)最高不能超過45元/件，那么銷售單價(jià)定為多少時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）描點(diǎn)，由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，任選兩點(diǎn)求表達(dá)式，再驗(yàn)證猜想的正確性；
（2）利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)=單件利潤×銷售量．據(jù)此得表達(dá)式，運(yùn)用性質(zhì)求最值；
（3）根據(jù)自變量的取值范圍結(jié)合函數(shù)圖象解答．

解答：解：（1）畫圖如圖；
由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)這個(gè)一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0）
∵這個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（30，500）
（40，400）這兩點(diǎn)，
∴

500=30k+b 400=40k+b

解得

k=-10 b=800

∴函數(shù)關(guān)系式是：y=-10x+800（0≤x≤80）

（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000
∴當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值9000．
所以，當(dāng)銷售單價(jià)定為50元∕件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）對(duì)于函數(shù)W=-10（x-50）²+9000，當(dāng)x≤45時(shí)，
W的值隨著x值的增大而增大，
∴銷售單價(jià)定為45元∕件時(shí)，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)解析式求出的最值是理論值，與實(shí)際問題中的最值不一定相同，需考慮自變量的取值范圍．