Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是直線AD與BC外的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD．請(qǐng)解答下列問題：

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線MN上（對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)Q除外）時(shí)，證明△PAC≌△PDB；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，求證：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，3），如圖3所示，設(shè)△PBC的面積為y，△PAD的面積為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）作BC的中垂線MN，在MN上取點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，
如圖（1）所示，∵M(jìn)N是BC的中垂線，
∴PA=PD，PC=PB，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=DB，
即，
∴△PAC≌△PDB（SSS），

（2）證明：過點(diǎn)P作KG∥BC，如圖（2）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA²=AK²+PK²
同理，PC²=CG²+PG²；PB²=BK²+PK²，PD²=+DG²+PG²
PA²+PC²=AK²+PK²+CG²+PG²，PB²+PD²=BK²+PK²+DG²+PG²
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可證得四邊形ADGK是矩形，
∴AK=DG，同理CG=BK，
∴AK²=DG²，CG²=BK²
∴PA²+PC²=PB²+PD²

（3）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，3）
∴BC=4，AB=2，
∴S_矩形ABCD=4×2=8，
直線HI垂直BC于點(diǎn)I，交AD于點(diǎn)H，
當(dāng)點(diǎn)P在直線AD與BC之間時(shí)，
S_△PAD+S_△PBC=BC•HI=4，
即x+y=4，因而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4-x，
當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上方時(shí)，S_△PBC-S_△PAD=BC•HI=4，
而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4+x，
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，S_△PAD-S_△PBC=BC•HI=4，
y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x-4．
分析：（1）利用三角形三邊關(guān)系對(duì)應(yīng)相等得出△PAC≌△PDB即可；
（2）利用已知可證得四邊形ADGK是矩形，進(jìn)而得出AK²=DG²，CG²=BK²，即可得出答案；
（3）結(jié)合圖形得出當(dāng)點(diǎn)P在直線AD與BC之間時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，分別求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定與全等三角形的判定以及分類討論思想應(yīng)用，根據(jù)已知得出P點(diǎn)不同位置得出y與x之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．