Question

（2011•峨眉山市二模）已知關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）若方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，求出k的值；
（2）等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊的長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩根，求k的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的方程的兩根，根據(jù)已知條件和根與系數(shù)的關(guān)系列出方程，然后解方程即可求出k．
（2）先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k-1．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
若方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，
根據(jù)已知條件和根與系數(shù)的關(guān)系列出方程得，
2k+1=0，
解得k=-

1

2

．

（2）∵x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
∴x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，
因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，則2=2k-1，
解得k=

3

2

，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，2，4，
∵2+2=4，這不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)a=4為等腰△ABC的腰，
因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，所以只能2k-1=4，
則三角形三邊長(zhǎng)分別為：2，4，4，
此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了分類思想的運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系．