Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，6），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在x軸的負(fù)半軸和正半軸上，OB，OC的長分別是方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若平面內(nèi)有M（6，3），D為BC延長線上的一點(diǎn)，且滿足∠DMC=∠BAC，求直線AD的解析式；
（3）若△MDC沿著x軸負(fù)半軸的方向以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M′、C′、D′，4秒后△MDC停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△M′C′D′與△ABC重合部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）求出方程x²-4x+3=0的解救可以求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）作AE⊥x軸于E，MF⊥x軸于F，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可以求出AE、CE的值，求出AC的值，由M的坐標(biāo)可以求出MF、CF的值進(jìn)而可以求出MC的值，在由∠DMC=∠BAC，就可以得出△ABC∽△MDC，就可以求出CD的值，從而求出D的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法就可以求出直線AD的解析式；
（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)分類討論思想，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，求出其表達(dá)式，當(dāng)2＜t≤4時(shí)根據(jù)等腰直角三角形的寫作和相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，
∴OB=1，OC=3，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）如圖1，作AE⊥x軸于E，MF⊥x軸于F，
∵A（-3，6），
∴AE=6，EC=OE+OC=6，
∴∠ACB=45°，AC=6

2

．
∵M(jìn)（6，3），
∴MF=3，CF=OF-OC=3，
∴∠MCD=45°，CM=3

2

．
∴∠ACB=∠MCD
∵∠DMC=∠BAC，
∴△ABC∽△MDC，
∴

CD

BC

=

MC

AC

=

1

2

，
∴CD=2，OD=5，
∴D（5，0）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，由題意，得

6=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 3 4 b= 15 4

，
∴y=-

3

4

x+

15

4

；

（3）①如圖2，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，
∵∠ACB=∠M′C′D′=45°，
∴重疊部分△GC′C為等腰直角三角形．
∵C′C=t，
∴S=

1

2

×t×

t

2

=

t2

4

，
②如圖3，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，
∵∠ACB=∠MC′D′=45°，
∴△GC′C為等腰直角三角形．
∵C′C=t，C′D′=2，
∴CD′=t-2．
過H作HP⊥x軸于點(diǎn)P，由∠ABC=∠MD′C′得∠ABE=∠HD′P，
∴△ABE∽△HD′P．
∴

AE

BE

=

HP

D′P

．
∵AE=6，BE=2，
∴

HP

D′P

=3．
設(shè)D′P=m，則HP=3m，
∵△PHC是等腰直角三角形，
∴PC=HP=3，
∴4m=t-2，
∴HP=

3

4

（t-2），
∴S=S_△GC′C-S_△HD′C=

1

2

×t×

t

2

-

1

2

（t-2）×

3

4

（t-2）=-

1

8

t2+

3

2

t-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，動(dòng)點(diǎn)問題的運(yùn)用，解答本題時(shí)靈活運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)是關(guān)鍵．