Question

已知拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6．
（1）試說(shuō)明對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)m，拋物線都經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂）分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且A、B兩點(diǎn)間的距離小于6，求m的取值范圍；
（3）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C(

2m-1

2

，0)，在（2）的條件下，試判斷是否存在m的值，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)C及拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的⊙M與y軸的正半軸相切于點(diǎn)D，且被x軸截得的劣弧與

CD

是等弧？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式化為交點(diǎn)式，可求得拋物線與x軸的交點(diǎn)其中一個(gè)是定值，不隨m的變化而變化；
（2）本題可從兩個(gè)方面考慮：①AB的距離小于6，可用韋達(dá)定理求出一個(gè)m的取值范圍，
②由于A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，因此根據(jù)韋達(dá)定理有x₁x₂＜0，據(jù)此可求出另外一個(gè)m的取值范圍．綜合兩種情況即可得出所求的m的取值范圍；
（3）本題要先畫(huà)出圖形，分拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行求解．解題思路一致．假設(shè)圓M與y軸的切點(diǎn)為D，過(guò)M作x軸的垂線設(shè)垂足為E，都是通過(guò)在直角三角形ACD和MEB（或MEA）中分別表示出OD和ME的長(zhǎng)，根據(jù)OD=ME來(lái)列等量關(guān)系求出t的值．

解答：解：（1）由題意可知：y=（x-2）（x-2m+3），
因此拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：
（2，0）（2m-3，0），
因此無(wú)論m取何值，拋物線總與x軸交于（2，0）點(diǎn)；

（2）令y=0，有：x²-（2m-1）x+4m-6=0，則：
x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=4m-6；
∵AB＜6
∴x₂-x₁＜6，
即（x₂-x₁）²＜36，（x₁+x₂）²-4x₁x₂＜36，
即（2m-1）²-4（4m-6）＜36，
解得-

1

2

＜x＜

11

2

．①
根據(jù)A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)可知：x₁x₂＜0，
即4m-6＜0，m＜

3

2

．②
綜合①②可得-

1

2

＜m＜

3

2

；

（3）假設(shè)存在這樣的m，設(shè)圓M與y軸的切點(diǎn)為D，過(guò)M作x軸的垂線設(shè)垂足為E．
①當(dāng)C點(diǎn)在x正半軸時(shí)，x=

2m-1

2

＞0，
因此

1

2

＜m＜

3

2

，
∵弧BC=弧CD，
因此BC=CD．
OC=

2m-1

2

，CD=BC=OB-OC=2-

2m-1

2

=

5-2m

2

，EC=

1

2

BC=

5-2m

4

，
OE=MD=OC+CE=

2m-1

2

+

5-2m

2

=

2m+3

4

．
易知：OD=ME，即OD²=ME²
∴CD²-OC²=CM²-CE²，
（

2m-5

2

）²-（

2m-1

2

）²=（

2m+3

4

）²-（

5-2m

4

）²；
解得m=

7

6

，符合m的取值范圍．
②當(dāng)C點(diǎn)在x負(fù)半軸時(shí)，x=

2m-1

2

＜0，
因此-

1

2

＜m＜

1

2

，
同①可求得OC=

1-2m

2

，CD=AC=

5-2m

2

，CE=

5-2m

4

，MD=OE=

7-6m

4

．
同理有：CD²-OC²=MC²-CE²
（

5-2m

2

）²-（

1-2m

2

）²=（

7-6m

4

）²-（

5-2m

4

）²
化簡(jiǎn)得：m²=

9

4

，
∴m=±

3

2

，均不符合m的取值范圍，
因此這種情況不成立．
綜上所述，存在符合條件的m，且m=

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合圓和一元二次方程的相關(guān)知識(shí)考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．