Question

數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：
“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED=EC，如圖，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．
小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
 （2）特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）過(guò)E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)式時(shí)，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求出CD=1．

解答：解：（1）故答案為：=．

（2）過(guò)E作EF∥BC交AC于F，
∵等邊三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中

∠DEB=∠ECF ∠DBE=∠EFC DE=CE

，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案為：=．

（3）解：CD=1或3，
理由是：分為兩種情況：①如圖1
過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=

1

2

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴

AB

BE

=

BM

BN

，
∴

1

2-1

=

1 2

BN

，
∴BN=

1

2

，
∴CN=1+

1

2

=

3

2

，
∴CD=2CN=3；

②如圖2，作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=

1

2

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴

AB

AE

=

BM

MN

，
∴

1

2

=

1 2

MN

，
∴MN=1，
∴CN=1-

1

2

=

1

2

，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解啊．