Question

數(shù)學(xué)課上，李老師出示了一道題目：在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由．
小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論：當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例啟發(fā)，解答題目

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得∠ECB=30°=∠D=∠DEB，從而DB=BE=AE；
（2）作EF∥BC，交AC于點F．則△AEF為等邊三角形．根據(jù)“SAS”證明△BDE≌△FEC，得BD=EF=AE．

解答：解：（1）E為AB的中點時，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB．
理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，點E是AB的中點，
∴AE=BE；∠BCE=30°．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D=30°．
又∵∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°．
∴DB=BE=AE；

（2）AE=DB．
如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等邊三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE與△FEC中，
∵

BE=CF ∠ECF=∠DEB ED=EC

，
∴△BDE≌△FEC（SAS），
∴BD=EF=AE．

點評：此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，特別是分類討論及輔助線的作法難度較大．