Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為多少？（ ）

A. 1 B. C. 2 D. -1

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：分三種情形討論①若以邊BC為底.②若以邊PC為底.③若以邊PB為底.分別求出PD的最小值,即可判斷.

詳解：:在菱形ABCD中,

∵∠ABC=60°，AB=1，

∴△ABC, △ACD都是等邊三角形,

①若以邊BC為底,則BC垂直平分線上(在菱形的邊及其內(nèi)部)的點(diǎn)滿足題意,此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短“,即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),PD值最小,最小值為1;

②若以邊PB為底, ∠PCB為頂角,以點(diǎn)C為圓心,BC為半徑作圓,則弧BD上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足△PBC為等腰三角形,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PD最小,顯然不滿足題意,故此種情況不存在;

③若以邊PC為底, ∠PBC為頂角時(shí),以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑作圓,與BD相交于一點(diǎn),則弧AC(除點(diǎn)C外)上的所有點(diǎn)都滿足△PBC是等腰三角形,當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí),PD最小.

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，

∴△ABC，△ADC是等邊三角形，

∴BO=DO=sin60 ×1=，

∴BD=2BO=2×=，

∴PD =BD-BP=-1.

∵-1<1,

∴PD的最小值為-1.