Question

是否存在這樣一個正整數(shù)當它加上100時，是一個完全平方數(shù)，當它加上127時，是另一個完全平方數(shù)？若存在請求出，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)

專題：

分析：利用分解因式求不定方程的整數(shù)解，再求m的值，進而得出答案．

解答：解：假設存在這樣的正整數(shù)m，由題意得：
m+100=x²①；m+127=y²②，
②-①得y²-x²=27．所以（y+x）（y-x）=27×1．
只有當x+y=27，y-x=1時，成立，即

x+y=27 y-x=1

，
解得：

y=14 x=13

，
所以m=x²-100=13²-100=169-100=69，
故存在正整數(shù)69，當它加上100時是一個完全平方數(shù)，當它加上127時是另一個完全平方數(shù)．

點評：此題主要考查了運用公式法因式分解以及二元一次方程組的解法，得出x+y=27，y-x=1是解題關鍵．