Question

【題目】問題提出：

（1）如圖①，已知線段AB和BC，AB＝2，BC＝5，則線段AC的最小值為　 　；

問題探究

（2）如圖②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，點A是OC的中點，延長OC到點F，使CF＝OC，點P是 上的動點，點B是OD上的一點，BD＝1．

（i）求證：△OAP～△OPF；

（ii）求BP+2AP的最小值；

問題解決：

（3）如圖③，有一個形狀為四邊形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，現(xiàn)計劃在湖中選取一處建造一座假山P，且BP＝3千米，為方便游客觀光，從C、D分別建小橋PD，PC．已知建橋PD每千米的造價是3萬元，建橋PC每千米的造價是1萬元，建橋PD和PC的總造價是否存在最小值？若存在，請確定點P的位置并求出總造價的最小值，若不存在，請說明理由．（橋的寬度忽略不計）

Answer 1

【答案】（1）3；（2）（i）詳見解析；（ii）13；（3）建橋PD和PC的總造價最小值為12萬元

【解析】

問題提出：

（1）當點A在線段BC上時，線段AC有最小值，可求解；

問題探究

（2）（i）由題意可得，由相似三角形的判定可得△OAP～△OPF；

（ii）由相似三角形的性質(zhì)可得PF＝2AP，可得BP+2AP＝BP+PF，即當點F，點P，點B三點共線時，BP+2AP有最小值，最小值為BF，由勾股定理可求BP+2AP有最小值；

問題解決：

（3）以點B為圓心，3為半徑作圓交AB于點E，交BC于點F，點P為上一點，連接BP，PC，PD，在BC上截取BM＝1，連接MD，過點D作DG⊥CB，可證△BPM∽△BCP，可得PC＝3PM，當點P在線段MD上時，建橋PD和PC的總造價有最小值，由勾股定理可求DM的值，即可求建橋PD和PC的總造價是否存在最小值．

解：問題提出：（1）∵當點A在線段BC上時，線段AC有最小值，

∴線段AC的最小值＝5﹣2＝3

故答案為：3

問題探究

（2）（i）∵點A是OC的中點，DO＝CO＝6＝OP，

∴

∵CF＝OC，

∴OF＝2OC＝2OP，

∴

∴，且∠AOP＝∠FOP

∴△OAP～△OPF；

（ii）∵△OAP～△OPF

∴

∴PF＝2AP

∵BP+2AP＝BP+PF

∴當點F，點P，點B三點共線時，BP+2AP有最小值，最小值為BF

∴DO＝CO＝6，BD＝1

∴BO＝5，OF＝12

∴BF＝＝13

問題解決：

（3）如圖，以點B為圓心，3為半徑作圓交AB于點E，交BC于點F，點P為上一點，連接BP，PC，PD，

在BC上截取BM＝1，連接MD，過點D作DG⊥CB，

∵，且∠PBM＝∠PBC，

∴△BPM∽△BCP

∴

∴PC＝3PM

∵建橋PD和PC的總造價＝3×PD+1×PC＝3PD+×3PM＝3（PD+PM）

∴當點P在線段MD上時，建橋PD和PC的總造價有最小值．

∵∠BCD＝150°

∴∠DCG＝30°，且DG⊥BC

∴DG＝DC＝，CG＝DG＝6

∴MG＝BC+CG﹣BM＝9+6﹣1＝14

∴MD＝

∴建橋PD和PC的總造價最小值＝萬元