Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣ ，0）的兩條直線分別交y軸于B，C兩點(diǎn)，且B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根．

（1）求線段BC的長(zhǎng)度；
（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4；

（2）解：垂直，理由如下：

∵A（﹣ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣ ，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴ ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣1，

∵DB=DC，

∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，

∴D的縱坐標(biāo)為1，

∴把y=1代入y=﹣ x﹣1，

∴x=﹣2 ，

∴D的坐標(biāo)為（﹣2 ，1）．

【解析】（1）解方程x2﹣2x﹣3=0求得x的值，從而可得到BC的長(zhǎng)；
（2）利用A、B、C的坐標(biāo)，求得OA、OB、OC的長(zhǎng)，可證明△AOC∽△BOA，從而求得∠BAC=90°，得證；
（3）由A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，結(jié)合條件可得D在線段BC的垂直平分線上，可求得D點(diǎn)的坐標(biāo).