Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，E、F分別是AC、BD的中點，求證：EF=（BC-AD）．

Answer 1

【答案】分析：此題中連接AE并延長，交BC于點G或CE、DA延長線相交于G均可．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)易證明EF是構(gòu)造的三角形的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理就可證明．
解答：證明：方法一：
如圖所示，連接AE并延長，交BC于點G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E為BD中點，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，EF為中位線，
∴EF=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即EF=（BC-AD）．

方法二：如圖所示，設(shè)CE、DA延長線相交于G．
∵E為BD中點，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F(xiàn)分別為CG，CA中點，
∴EF=GA=（GD-AD）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．
點評：此題關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造輔助線，借助全等三角形的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)三角形的中位線，運用三角形的中位線定理就可證明．