Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（4）如圖2，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）令二次函數(shù)解析式中y=0，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AB、AC、BC的長(zhǎng)度，由三者滿足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC為直角三角形；（3）分別以A、C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于三個(gè)點(diǎn)，由AC的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）（-2<n<8），通過(guò)分割圖形法求面積，再根據(jù)相似三角形面積間的關(guān)系以及三角形的面積公式即可得出S△AMN關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．

（1）∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），

∴，

解得．

∴拋物線表達(dá)式：y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令y=0，則﹣x2+x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，

在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形．

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC==4，

①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（8﹣4，0）或（8+4，0）

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（3，0），

綜上，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

（4）如圖

，

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴=，

∵MN∥AC

∴=，

∴=，

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=（n+2），

∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BNOA﹣BNMD

=（n+2）×4﹣×（n+2）2

=﹣（n﹣3）2+5，

當(dāng)n=3時(shí)，△AMN面積最大是5，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．