【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,已知AC=2,AB=5.
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接CE,將線段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對(duì)應(yīng)的線段CF(即∠ECF=∠BCD),EF交CD于點(diǎn)P.
①當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí),求EF的長(zhǎng);
②連接AF、DF,當(dāng)DF的長(zhǎng)度最小時(shí),求△ACF的面積.
【答案】(1)BD=4;(2)①EF=2;②當(dāng)DF的長(zhǎng)度最小時(shí),△ACF的面積為14.
【解析】
(1)由菱形的性質(zhì)得出AD=AB=BC=CD=5,AC⊥BD,由勾股定理求出OB,即可得出BD的長(zhǎng);
(2)①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于H,由菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出求出AH=2,由勾股定理求出求出再由勾股定理求出證明△BCD∽△ECF,得出即可得出結(jié)果;
②先證明△BCE≌△DCF,得出BE=DF,當(dāng)BE最小時(shí),DF就最小,且BE⊥DE時(shí),BE最小,此時(shí)∠EBC=∠FDC=90°,BE=DF=4,△EBC的面積=△ABC的面積=△DCF的面積,則四邊形ACFD的面積=2△ABC的面積=20,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H,過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD于P,則∠CPD=90°,證明△PCD∽△HDF,得出求出即可得出△ACF的面積.
(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB=BC=CD=5,AC⊥BD,OA=OC=AC=,OB=OD,
在Rt△ABO中,由勾股定理得:OB===2,
∴BD=2OB=4;
(2)①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于H,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠DAC,
∴cos∠BAC=cos∠DAC,
∴==,即=,
∴AH=2,
∴CH==4,
∵E為AD的中點(diǎn),
∴AE=AD=,
∴HE=AE-AH=,
在Rt△CHE中,由勾股定理得:EC==,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠ECF=∠BCD,CF=CE,
∴=,
∴△BCD∽△ECF,
∴,即=,
解得:EF=2;
②如圖2所示:
∵∠BCD=∠ECF,
∴∠BCD-DCE=∠ECF-∠DCE,即∠BCE=∠DCF,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴BE=DF,
當(dāng)BE最小時(shí),DF就最小,且BE⊥DE時(shí),BE最小,
此時(shí)∠EBC=∠FDC=90°,BE=DF=4,△EBC的面積=△ABC的面積=△DCF的面積,
則四邊形ACFD的面積=2△ABC的面積=5×4=20,
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H,過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD于P,
則∠CPD=90°,
∴∠PCD+∠PDC=90°,
∵∠FDC=90°,
∴∠PDC+∠HDF=90°,
∴∠PCD=∠HDF,
∴△PCD∽△HDF,
∴==,
∴HF=4×=,
∴△ADF的面積=ADHF=×5×=6,
∴△ACF的面積=四邊形ACFD的面積-△ADF的面積=20-6=14,
即當(dāng)DF的長(zhǎng)度最小時(shí),△ACF的面積為14.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t<6),連接DE,當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí),t的值為
A、2 B、2.5或3.5 C、3.5或4.5 D、2或3.5或4.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 定義:在凸四邊形中,我們把兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積的四邊形稱(chēng)為“完美四邊形”
(1)在正方形、矩形、菱形中,一定是“完美四邊形”的是______.
(2)如圖1,在△ABC中,AB=2,BC=,AC=3,D為平面內(nèi)一點(diǎn),以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為“完美四邊形”,若DA,DC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m為常數(shù))的兩個(gè)根,求線段BD的長(zhǎng)度.
(3)如圖2,在“完美四邊形”EFGH中,∠F=90°,EF=6,FG=8,求“完美四邊形”EFGH面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,利用一面墻(墻的長(zhǎng)度為15 m),用籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD,中間再用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形,共用去籬笆42 m.設(shè)平行于墻的一邊BC長(zhǎng)為x m,花園的面積為S m2.
(1)求S與x之間的函數(shù)解析式;
(2)問(wèn)花園面積可以達(dá)到120平方米嗎?如果能,花園的長(zhǎng)和寬各是多少?如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=2x+b與雙曲線y=(k>0)交于點(diǎn)A、D,直線AD交y軸、x軸于點(diǎn)B、C,直線y=-+n過(guò)點(diǎn)A,與雙曲線y=(k>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E,連接BE、DE,若S△ABE=4,且S△ABE:S△DBE=3:4,則k的值為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,
(1)證明ABDF是平行四邊形;
(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一 列數(shù)是7、9、3、7、6、9、11、8、 2、9、10,中位數(shù)是多少?這列數(shù)若再加入3和1000兩個(gè)數(shù),那么中位數(shù)會(huì)改變嗎?平均數(shù)又會(huì)有什么變化?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖已知拋物線y=﹣x2+(1﹣m)x﹣m2+12交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)C位于第二象限,連接AB,AC,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積等于△ABC的面積?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)將△ABC沿x軸向右移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度(0<t<1)時(shí),平移后△ABC和△ABO重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),把△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),連接AD、AE、CD、CE,如圖2.
(1)求證:△BDE∽△BAC.
(2)求△ABE面積最大時(shí),△ADE的面積.
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)D落在△ACE的邊所在直線上時(shí),直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng).
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