Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD．點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB，交CD于點(diǎn)F，連接EB，取EB的中點(diǎn)G，連接DG、FG．
（1）求證：EF=CF；
（2）求證：FG⊥DG．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到CD=AD=

1

2

AB；然后根據(jù)“平行線分線段”成比例證得結(jié)論；
（2）如圖，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)M，連接GM．通過證“GM是△BEC的中位線，F(xiàn)G是△CDM的中位線”，結(jié)合平行線的性質(zhì)可以證得FG⊥DG．

解答：證明：（1）如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB．
又EF∥AB，
∴

EF

AD

=

CF

CD

，
∴

EF

CF

=

AD

CD

=1，
∴EF=CF；

（2）如圖，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)M，連接GM．
∵EF∥AB，
∴∠CMF=∠CBD．
又∵AD=BD=

1

2

AB，
∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，
∴∠CMF=∠FCM，
∴CF=MF．
又由（1）知，EF=CF，
∴EF=FM，即點(diǎn)F是EM的中點(diǎn)，
又∵EF∥AB，則FM∥AB
∴EM是△ABC的中位線，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，
∴DG是△AEB的中位線，GM是△BEC的中位線，
∴GD∥AE，GM∥EC，
∴點(diǎn)D、G、M三點(diǎn)共線，
∴FG是△CDM的中位線，
∴FG∥CM．
又∵M(jìn)C⊥EC，
∴FG⊥DG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形中位線定理，解答（2）題的技巧在于通過作輔助線，構(gòu)建三角形的中位線，利用三角形中位線定理證得結(jié)論．