Question

□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，對(duì)角線(xiàn)BD、AC交于點(diǎn)O. 將直線(xiàn)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點(diǎn)E、F. （∠AOF為旋轉(zhuǎn)角）

（1）試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AF與CE總保持相等；

（2）證明：當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠FAO=∠ECO，

∴在△AOF和△COE中，

∠AOF=∠COE(對(duì)頂角相等)

∠FAO=∠EOC

AO=CO，

∴△AOF≌△COE，

∴CE=AF；

（2）AC旋轉(zhuǎn)后的位置如圖所示．

∵∠AOF=∠BAC=90°，

∴AB∥FE，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）①可能．當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形．

∵△AOF≌△COE（已證）

∴EO=FO，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO，

又∵EF⊥BD，

∴四邊形BEDF是菱形；

②∵AB=1，BC=

∴AC==2，

∴AO=AC=1，

∴△ABO是等腰直角三角形，∠AOB=45°，

又∵∠BOF=90°，

∴∠AOF=45°，即旋轉(zhuǎn)角為45°．

【解析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得出AO=CO，AD∥BC，由全等三角形的判定定理可得出△AOF≌△COE，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理得出AB∥FE，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得出AD∥BC，進(jìn)而可判斷出四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）①由△AOF≌△COE可得出EO=FO，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可知BO=DO，由于EF⊥BD，所以四邊形BEDF是菱形；

②先根據(jù)△ABC是直角三角形，利用勾股定理可得出AC的長(zhǎng)，可判斷出△ABO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠AOF=45°，即旋轉(zhuǎn)角為45°．

【解析】當(dāng)x=-2時(shí)，y₁=-；當(dāng)x=-1時(shí)，y₂==1;當(dāng)x=1時(shí)，y₃=-1．

∴y₂＞y₁＞y₃