Question

已知：如圖，在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF=AE．
（1）

BE

BA

的值為

 

；
（2）試判斷四邊形BECF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)∠A為多少度時(shí)，四邊形BECF是正方形？畫(huà)出草圖，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,菱形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理得出即可；
（2）利用四條邊相等的四邊形是菱形進(jìn)而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出CE⊥AB，進(jìn)而得出四邊形BECF是正方形．

解答：解：（1）∵BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，
∴BD=CD，∠BDE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴BE=AE，
∴

BE

BA

的值為

1

2

，
故答案為：

1

2

；

（2）菱形；   
理由：∵BE=AE，CF=AE，
∴FC=BE，
∵BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，
∴BF=FC，BE=EC，
∴BF=FC=BE=EC，
∴四邊形BECF是菱形；

（3）當(dāng)∠A為45°時(shí)，四邊形BECF是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠BCA=90°，
∴∠CBA=45°，
∴BC=AC，
∵BE=AE，
∴CE⊥BA，
∵四邊形BECF是菱形，
∴四邊形FBEC是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形與正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．