Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半軸上，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=

4

5

．點(diǎn)D在線段AB上，連接CD交y軸于點(diǎn)E，且S_△COE=S_△ADE．試求圖象經(jīng)過B、C、E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想

分析：已知AB=AC，顯然有OB=OC，因此只需求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；在Rt△ABC中，已知AO、∠ABC的正弦值即可求出OB的長，可據(jù)此求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)．
求點(diǎn)E的坐標(biāo)時，要把握住S_△COE=S_△ADE這個條件，由圖可看出這兩個三角形的面積不好得出，因此讓它們加上一個公共圖形，轉(zhuǎn)化為S_△CDB=S_△AOB更方便求解，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式．

解答：解：因?yàn)閟in∠ABC=

AO

AB

=

4

5

，AO=8，
所以AB=10．由勾股定理，得BO=

AB2-AO2

=6．
易知△ABO≌△ACO，因此 CO=BO=6．
于是A（0，-8），B（6，0），C（-6，0）．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n）．
由S_△COE=S_△ADE，得S_△CDB=S_△AOB．所以 

1

2

BC•|n|=

1

2

AO•BO，

1

2

×12（-n）=

1

2

×8×6．
解得 n=-4．
因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為（3，-4）．
因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為△ABC的重心，
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-

8

3

）．（也可由直線CD交y軸于點(diǎn)E來求得．）
設(shè)經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=a（x-6）（x+6）．
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a=

2

27

．
故經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=

2

27

x²-

8

3

．

點(diǎn)評：該題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，其中求點(diǎn)E的坐標(biāo)是本題的難點(diǎn)，解題時要注意轉(zhuǎn)化思想的合理應(yīng)用，例如：將S_△COE=S_△ADE轉(zhuǎn)化為S_△CDB=S_△AOB后，可大大降低解題的難度．