Question

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，E為CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且AE=CF．
（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=60°，求∠ACF的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可證Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)易求∠BAE=∠CAE-∠CAB=15°．利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAE=∠BCF=15°，則∠ACF=∠ACB-∠BCF=30°．即∠ACF的度數(shù)是30°．

解答：（1）證明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵

AE=CF AB=CB

，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）如圖，∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=15°．
又由（1）知，Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=30°．即∠ACF的度數(shù)是30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．