Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F．

（1）求∠ABE的大小及的長度；

（2）在BE的延長線上取一點G，使得上的一個動點P到點G的最短距離為，求BG的長．

Answer 1

【答案】（1）45°，；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）連接AE，如圖1，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進而得到∠DAB，然后運用圓弧長公式就可求出的長度；

（2）如圖2，根據(jù)兩點之間線段最短可得：當A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG==AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG，只需運用勾股定理求出BE，就可求出BG的長．

試題解析：（1）連接AE，如圖1，∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的長度為=；

（2）如圖2，根據(jù)兩點之間線段最短可得：當A、P、G三點共線時PG最短，此時AG=AP+PG==，∴AG=AB．∵AE⊥BG，∴BE=EG．∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．