Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標(biāo)為m，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
（3）點P是x軸上方拋物線上一點，Q是x軸上一動點，若以A、C、P、Q為頂點的四邊形為等腰梯形，則P的坐標(biāo)是多少？請直接寫出答案．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式．
（2）利用S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB列出方程，根據(jù)方程求出當(dāng)m為

3

2

時，有最大值．
（3）①當(dāng)CA=PQ，CP∥AB時，求出點P的坐標(biāo)，②作GH⊥AC且平分AC，交AC于點H．連接CG交拋物線于點P．先求出點G的坐標(biāo)，再求出直線GH的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立．求出交點P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+c
∵拋物線經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，
∴

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

解得

a=-1 b=2 c=3

拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
（2）如圖．

∵S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB，
=

1

2

MN×（OD+DB）
=

1

2

MN•OB
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∵BD=3-m，
∴MN=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m，
∴S_△BNC=

1

2

（-m²+3m）×3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

（0＜m＜3），
∴當(dāng)m=

3

2

時，△BNC的面積最大，最大值為

27

8

．
（3）①如圖2，當(dāng)CA=PQ，CP∥AB時，點Q與點B重合

∵拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
∴對稱軸x=1
∵C（0，3），
∴P點的坐標(biāo)為（2，3），
②如圖3，作GH⊥AC且平分AC，交AC于點H．連接CG交拋物線于點P．過點P作PQ∥AC的得的四邊形為等腰梯形．

∵A（-1，0）、C（0，3），
∴AC=

10

，
∴AH=

10

2

，
∵tan∠CAO=3，
∴HG=

3 10

2

，
∴AG=

( 10 2 )2+( 3 10 2 )2

=5，
∴G（4，0），
∵點C（0，3）
設(shè)直線CH的解析式為y=kx+b，
∴

0=4k+b 3=b

解得，

k=- 3 4 b=3

∴直線GH的解析式為y=-

3

4

x+3，
與拋物線解析式y(tǒng)=-x²+2x+3組成方程組得，

y=- 3 4 x+3 y=-x2+2x+3

解得，

x1=0 y1=3

，

x2= 11 4 y2= 15 16

∴P的坐標(biāo)為（

11

4

，

15

16

），
綜上所述點P（2，3）或（

11

4

，

15

16

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是分兩種情況，分析以A、C、P、Q為頂點的四邊形為等腰梯形，并求出點P的坐標(biāo)．