Question

如圖，D為Rt△ABC斜邊BC上的一點，以CD為直徑作⊙O交邊AB于E、F兩點，交AC于H，DG⊥AB于點G 
（1）求證：AF=GE；
（2）若AF=2，F(xiàn)G=AC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接DH、CI，過點O作OM⊥AG，垂足為點M，EM=FM，再證出GD∥AC∥OM，根據(jù)OD=OC，得出GM=AM，即可證出AF=GE，
（2）先證出四邊形AGDH是矩形，求出AG、EF，得出DH=AG=6，再根據(jù)AF•AE=AH•AC求出AH=2，得出CH=2，最后根據(jù)勾股定理得出CD²=40，CD=2

10

，最后根據(jù)圓O的半徑=

1

2

CD即可得出答案．

解答：解：（1）連接DH，過點O作OM⊥AG，垂足為點M，
則EM=FM，
∵CD為直徑，
∴∠DHC=90，
∵DG⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴GD∥AC∥OM，
∵OD=OC，
∴GM=AM，
∴GM-EM=AM-FM，
∴AF=GE；

（2）∵GD∥AC，∠DHC=90，DG⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴四邊形AGDH是矩形，
∵AG=AF+FG=2+4=6，EF=FG-GE=FG-AF=4-2=2，
∴DH=AG=6，
∵AF•AE=AH•AC，
∴2×4=AH×4
∴AH=2，
∴CH=2，
∴CD²=DH²+CH²=6²+2²=40，
∴CD=2

10

，
∴圓O的半徑=

1

2

CD=

1

2

×2

10

=

10

．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是垂經(jīng)定理、勾股定理、割線定理、矩形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)性質(zhì)，作出輔助線，列出算式．