Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A（-4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，2），P為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為第二象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PQ=PA，OQ=OB．
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△OPQ為直角三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)Q是否在直線AB上．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，由直線AB交x軸于點(diǎn)A（-4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，2），利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由△OPQ為直角三角形，則可判定∠PQO=90°，然后設(shè)AP=PQ=a，PO=4-a，由勾股定理可得方程：（4-a）²=a²+2²，繼而求得答案．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（0，2），
∴

-4k+b=0 b=2

，
解得：

k= 1 2 b=2

，
∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為：y=

1

2

x+2；

（2）∵△OPQ為直角三角形，
①若∠POQ=90°，則點(diǎn)Q在y軸上，
∵Q為第二象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴矛盾，
∴∠POQ≠90°；
②若∠QPO=90°，
則PA=PQ＜OQ，PO＜OQ，
∵OQ=OB=2，PO＜2，
∴OA=OP+PA＜4，
∵OA=4，
∴矛盾，
∴∠QPO≠90°；
③若∠PQO=90°，設(shè)AP=PQ=a，PO=4-a，
∴（4-a）²=a²+2²，
解得：a=

3

2

，
∴PO=4-a=

5

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-

5

2

，0），
過點(diǎn)Q作QH⊥OP于點(diǎn)H，
∴QH=

PQ•OQ

OP

=

6

5

，
∴OH=

OQ2-QH2

=

8

5

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（-

8

5

，

6

5

）；
∵當(dāng)x=-

8

5

時(shí)，y=

1

2

×（-

8

5

）+2=

6

5

，
∴點(diǎn)Q在直線AB上．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．