已知:如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓上一點,連接AC、BC、過O點作AB的垂線,交BC于E,交半圓于F,交AC的延長線于D.
(1)求證:=;
(2)如果OA=2,點C在弧AF上運動(不與點A,F(xiàn)重合).設OE的長為x,△AOD的面積為y,求y和x之間的函數(shù)關系式,寫出自變量x的取值范圍,并畫出函數(shù)圖象.

【答案】分析:(1)由AB是直徑得出∠ACB是直角,推出∠A和∠B的和為90°,再由OD與AB垂直得出∠A與∠D的和為90°,從而得出角的等量關系,即可得到△OEC∽△OCD,從而推出結論.
(2)由△OEC∽△OCD得出邊的比例關系,再由三角形的面積公式即可得出y和x之間的函數(shù)關系式,再求出自變量x的取值范圍即可.
解答:(1)證明:∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵OD⊥AB
∴∠A+∠D=90°
∴∠D=∠B=∠OCB
∵∠EOC=∠COD
∴△OEC∽△OCD
=
=(6分)

(2)解:∵△OEC∽△OCD

∴OC2=OE•OD
∵OC=2,OE=x
∴22=x•OD
(8分)
又∵y=,∴
∴y=(9分)
∴自變量x的取值范圍是0<x<2(10分)
點評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質,以及二元一次函數(shù)的應用,綜合性強,難度適中.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①
AD
=
CD
,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•沈陽)已知,如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(-2,0),點B坐標為(0,2),點E為線段AB上的動點(點E不與點A,B重合),以E為頂點作∠OET=45°,射線ET交線段0B于點F,C為y軸正半軸上一點,且OC=AB,拋物線y=-
2
x2+mx+n的圖象經過A,C兩點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)求證:∠BEF=∠AOE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
(4)在(3)的條件下,當直線EF交x軸于點D,P為(1)中拋物線上一動點,直線PE交x軸于點G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2
2
+1)倍?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2009-2010學年吉林省長春市外國語學校九年級(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

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科目:初中數(shù)學 來源:2003年全國中考數(shù)學試題匯編《圓》(09)(解析版) 題型:解答題

(2003•綿陽)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

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科目:初中數(shù)學 來源:2003年四川省綿陽市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(2003•綿陽)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓弧上的兩點,E是AB上除O外的一點,AC與DE相交于F.①,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)寫出“以①②③中的任意兩個為條件,推出第三個(結論)”的一個正確命題,并加以證明;
(2)“以①②③中的任意兩個為條件,推出笫三個(結論)”可以組成多少個正確的命題?(不必說明理由)

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