【題目】如圖,O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).在四邊形OABC中,ABOC,BCx軸于C,A(1,1),B(3,1),動(dòng)點(diǎn)PO點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0t2).

(1)求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(2)過(guò)PPDOAD,以點(diǎn)P為圓心,PD為半徑作⊙P,P在點(diǎn)P的右側(cè)與x軸交于點(diǎn)Q.

①則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_____,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_____;(用含t的代數(shù)式表示)

②試求t為何值時(shí),⊙P與四邊形OABC的兩邊同時(shí)相切;

③設(shè)△OPD與四邊形OABC重疊的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出St的函數(shù)解析式.

【答案】 (2t,0) ((2+)t,0)

【解析】分析:(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;

(2)①先用含t的代數(shù)式表示出OP,再利用銳角三角函數(shù)表示出PD,進(jìn)而表示出OQ即可得出結(jié)論;

PAB相切時(shí),PBC相切時(shí)兩種情況,利用直線和圓相切的性質(zhì)建立方程求解即可;

0<t≤1,1<t,t<2三種情況,利用幾何圖形的面積公式即可得出結(jié)論.

詳解:(1)因?yàn)閽佄锞經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,所以設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx.

又因?yàn)閽佄锞經(jīng)過(guò)A(1,1),B(3,1),

所以有解得,

所以拋物線解析式為y=﹣x2+x

(2)①由運(yùn)動(dòng)知,OP=2t,

P(2t,0),

A(1,1),

∴∠AOC=45°,

PDOA,

PD=OPsinAOC=t,

PD為半徑作⊙P,P在點(diǎn)P的右側(cè)與x軸交于點(diǎn)Q,

PQ=PD=t,

OQ=OP+PQ=2t+t=(2+)t

Q((2+)t,0),

故答案為(2t,0),((2+)t,0);

②當(dāng)⊙PAB相切時(shí), t=1,所以t=;

當(dāng)⊙PBC相切時(shí),即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合,所以(2+)t=3,解得t=

(3)①當(dāng)0t1,如圖1,重疊部分的面積是SOPQ,

過(guò)點(diǎn)AAFx軸于點(diǎn)F,

A(1,1),

RtOAF中,AF=OF=1,AOF=45°,

RtOPQ中,OP=2t,OPQ=QOP=45°,

PQ=OQ=2tcos45°=t,

S=t)2=t2

②當(dāng)1t,如圖2,設(shè)PQAB于點(diǎn)G,

GHx軸于點(diǎn)H,OPQ=QOP=45°,

則四邊形OAGP是等腰梯形,PH=GH=AF=1,

重疊部分的面積是S梯形OAGP

AG=FH=OP﹣PH﹣OF=2t﹣2,

S=(AG+OP)AF=(2t+2t﹣2)×1=2t﹣1.

③當(dāng)t2,如圖3,設(shè)PQAB交于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,

重疊部分的面積是S五邊形OAMNC

因?yàn)椤?/span>PNC和△BMN都是等腰直角三角形,

所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣SBMN

B(3,1),OP=2t,

CN=PC=OP﹣OC=2t﹣3,

BM=BN=1﹣(2t﹣3)=4﹣2t,

S=(2+3)×1﹣(4﹣2t)2=﹣2t2+8t﹣

即:S=

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