Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D．過C作⊙O的切線，交OD的延長線于點(diǎn)P，連接AP．
（1）求證：AP是⊙O的切線．
（2）若

AC

AB

=

4

5

，PD=

16

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OC，易證得△AOP≌△COP（SAS），可得∠PAO=∠PCO，又由PC是⊙O的切線，易證得OA⊥PA，即可證得AP是⊙O的切線．
（2）首先連接BC，由

AC

AB

=

4

5

，易證得

CD

CO

=

4

5

，可設(shè)CD=4k，則CO=5k，OD=3k，易證得△CPD∽△OCD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得PD=

16

3

k，又由PD=

16

3

，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OC．
∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，OA=OC，
∴∠AOP=∠COP，
在△AOP和△COP中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠PCO=∠PAO，
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PAO=90°，
即OA⊥PA，
又∵OA是⊙O的半徑，
∴AP是⊙O的切線；

（2）連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
又∵OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴

AD

AO

=

AC

AB

=

4

5

，
∴

CD

CO

=

4

5

，
設(shè)CD=4k，則CO=5k，OD=3k．
∵∠CPD+∠COD=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∴∠CPD=∠OCD，
∵∠PDC=∠CDO=90°，
∴△CPD∽△OCD，
∴

CD

PD

=

OD

DC

，
∴PD=

16

3

k，
∵PD=

16

3

，
∴k=1，
∴OC=5，
∴⊙O的半徑長為5．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．