Question

如圖，EC是⊙O的直徑，且EC=2，作BC⊥AC于C，使BC=2，過(guò)B作⊙O的切線BA交CE的延長(zhǎng)線于A，切點(diǎn)為D．
①求證：AD•AB=AO•AC；
②求AE及AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：①連接CD，易證得△AOD∽△ABC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AD•AB=AO•AC；
②首先設(shè)AD=x，AE=y，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，得方程=，=，繼而求得答案．
解答：①證明：連接OD，
∵AB是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∴∠ADO=∠C，
∵∠A是公共角，
∴△AOD∽△ABC，
∴AD：AC=AO：AB，
∴AD•AB=AO•AC；

②解：設(shè)AD=x，AE=y，
∵EC是⊙O的直徑，且EC=2，BC=2，
∴OE=OD=OC=1，
∵△AOD∽△ABC，
∴AD：AC=AO：AB=OD：BC=1：2，
∵AB與BC是⊙O的切線，
∴BD=BC=2，
∴=，=，
解得：x=，y=，
∴AD=，AE=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．