【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)拋物線過點
和
,對稱軸為直線
.
(1)求二次函數(shù)的表達式和頂點的坐標.
(2)將拋物線在坐標平面內(nèi)平移,使其過原點,若在平移后,第二象限的拋物線上存在點,使
為等腰直角三角形,請求出拋物線平移后的表達式,并指出其中一種情況的平移方式.
【答案】(1),頂點
的坐標是
;(2)平移后拋物線表達式是
,
,
;原拋物線向左平移
個單位,再向下平移
個單位可得
【解析】
(1)可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,因為點A(-1,0)、C(0,-2)在函數(shù)圖象上,對稱軸為x=1,也可求得A的對稱點的坐標為(3,0),列方程組即可求得解析式;
(2)根據(jù)平移后的圖象過原點,所以設(shè)y =﹣x+bx,使拋物線第二象限上的點P與AB組成的△ABP是等腰直角三角形,所以分三種情況來討論,分別求出三種情況的解析式.
(1)由題意,得
,解得
拋物線的表達式為
;
當時,
,
頂點
的坐標是
(2)平移后拋物線過原點,可設(shè)表達式是,分三種情況:
①當為等腰直角三角形
的斜邊,如圖
所示,做
軸于
,
,
,
,
,又
,
,
,
,
,所以
點坐標是
,
把代入
得,
,
.
所以平移后拋物線表達式是.
②當為等腰直角三角形
的斜邊,如圖
所示,
同上可得,
,
,
所以點坐標是
,
把代入
得,
,
.
所以平移后拋物線表達式是.
③當為等腰直角三角形
的斜邊,如圖
所示,
這時是
的中點,因為
,
,所以
,
把代入
得,
,
.
所以平移后拋物線表達式是.這時拋物線頂點是
,
可將原拋物線向左平移個單位,再向下平移
個單位
綜上所述,平移后拋物線表達式是,
,
;
原拋物線向左平移個單位,再向下平移
個單位可得
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l1:y=k1x+b過A(0,﹣3),B(5,2),直線l2:y=k2x+2.
(1)求直線l1的表達式;
(2)當x≥4時,不等式k1x+b>k2x+2恒成立,請寫出一個滿足題意的k2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與
軸交于
、
兩點(
點在
點的左側(cè)),與
軸交于點
,拋物線的對稱軸與
軸交于點
.
(1)請直接寫出、
兩點的坐標及
的度數(shù);
(2)如圖1,若點為拋物線對稱軸上的點,且
,求點
的坐標;
(3)如圖,若點
、
分別為線段
和
上的動點,且
,過
、
分別作
軸的垂線,垂足分別為
、
.在
、
兩點的運動過程中,試探究:
①是否是一個定值?如果是,請求出這個定值,如果不是,請說明理由;
②若將沿著
翻折得到
,將
沿著
翻折得到
,當點
從點
運動到點
的過程中,求點
和點
的運動軌跡的長度之和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評估九年級學(xué)生在“新冠肺炎”疫情期間“空中課堂”的學(xué)習(xí)效果,某中學(xué)抽取了部分參加調(diào)研測試的學(xué)生成績作為樣本,并把樣本分為優(yōu)、良、中、差四類,繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了多少名學(xué)生;
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校九年級共有320人參加了這次調(diào)研測試,請估算該校九年級共有多少名學(xué)生的成績達到了優(yōu)秀?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】開展陽光體育運動,掌握運動技能,增強身體素質(zhì).某校初二年級五月開展了周末一小時興趣鍛煉活動,項目包括:籃球技能、排球技能、足球技能、立定跳遠、50米跑,每個同學(xué)只選一項參與.王老師為了解學(xué)生對各種項目的參與情況,隨機調(diào)查了部分學(xué)生參與哪一類項目(被調(diào)查的學(xué)生沒有不參與的),并將調(diào)查結(jié)果制成了如下的兩個統(tǒng)計圖(不完整)請你根據(jù)圖中所提供的信息,完成下列問題:
(1)求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù);
(2)請將兩個統(tǒng)計圖補充完整,并求出足球項目在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)若該中學(xué)初二年級有名學(xué)生,請估計該校初二學(xué)生參與球類項目的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的兩根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2=x1x2,則k的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=x+
,點A,B的坐標分別是(1,0)和(6,0),點C在直線l上,當△ABC是直角三角形時,點C的坐標為__.
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