Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)拋物線過點(diǎn)和，對稱軸為直線．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）將拋物線在坐標(biāo)平面內(nèi)平移，使其過原點(diǎn)，若在平移后，第二象限的拋物線上存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，請求出拋物線平移后的表達(dá)式，并指出其中一種情況的平移方式．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）平移后拋物線表達(dá)式是，，；原拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位可得

【解析】

（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)A(-1,0)、C(0,-2)在函數(shù)圖象上，對稱軸為x=1，也可求得A的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),列方程組即可求得解析式;

（2）根據(jù)平移后的圖象過原點(diǎn)，所以設(shè)y =﹣x+bx，使拋物線第二象限上的點(diǎn)P與AB組成的△ABP是等腰直角三角形，所以分三種情況來討論，分別求出三種情況的解析式．

（1）由題意，得

，解得

拋物線的表達(dá)式為；

當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是

（2）平移后拋物線過原點(diǎn)，可設(shè)表達(dá)式是，分三種情況：

①當(dāng)為等腰直角三角形的斜邊，如圖所示，做軸于，

，

，，

，又，，

，，

，所以點(diǎn)坐標(biāo)是，

把代入得，，．

所以平移后拋物線表達(dá)式是．

②當(dāng)為等腰直角三角形的斜邊，如圖所示，

同上可得，，，

所以點(diǎn)坐標(biāo)是，

把代入得，，．

所以平移后拋物線表達(dá)式是．

③當(dāng)為等腰直角三角形的斜邊，如圖所示，

這時(shí)是的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，所以，

把代入得，，．

所以平移后拋物線表達(dá)式是．這時(shí)拋物線頂點(diǎn)是，

可將原拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位

綜上所述，平移后拋物線表達(dá)式是，，；

原拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位可得