Question

在平面直角坐標系中，把矩形OABC的邊OA、OC分別放在x軸和y軸的正半軸上，已知OA=2

3

，OC=2．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標；
（2）將矩形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)x°，得到矩形OA₁B₁C₁，其中點A的對應點為點A₁．
①當0＜x＜90時，設(shè)AC交OA₁于點K（如圖1），若△OAK為等腰三角形，請直接寫出x的值；
②當x=90時（如圖2），延長AC交A₁C₁于點D，求證：AD⊥A₁C₁；
③當點B₁落在y軸正半軸上時（如圖3），設(shè)BC與OA₁交于點P，求過點P的反比例函數(shù)的解析式；并探索：該反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過矩形OABC的對稱中心？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知OA=2

3

，OC=2．可直接得出A、B、C三點的坐標；
（2）①根據(jù)△OAK為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)可求的x的值為30°或75；
②由題意得：△OAC≌△OA₁C₁．然后求證∠OAC+∠OC₁A₁=∠OA₁C₁+∠OC₁A₁=90°，得∠ADC₁=90°即可，
③根據(jù)OA1=OA=2

3

，A1B1=AB=2，利用三角函數(shù)求得∠A₁OB₁=30°，設(shè)反比例函數(shù)為y=

k

x

，把P(

2 3

3

，2)代入，求得k=

4 3

3

，然后可證反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過矩形OABC的對稱中心．

解答：解：（1）A（2

3

，0），B（2

3

，2），C（0，2）．

（2）①x的值為30°或75°，
②由題意得：△OAC≌△OA₁C₁．
∴∠OAC=∠OA₁C₁．
∴∠OAC+∠OC₁A₁=∠OA₁C₁+∠OC₁A₁=90°，
∴∠ADC₁=90°，
∴AD⊥A₁C₁
③在Rt△OA₁B₁中，
∵OA1=OA=2

3

，A1B1=AB=2，
∴tan∠A1OB1=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠A₁OB₁=30°
在Rt△OCP中，CP=OC•tan∠COP=2•

3

3

=

2 3

3

∴P(

2 3

3

，2)．
設(shè)反比例函數(shù)為y=

k

x

，把P(

2 3

3

，2)代入，得k=

4 3

3

，即y=

4 3

3x

．
設(shè)矩形OABC的對角線OB、AC相交于點Q，則Q是矩形OABC的對稱中心，且點Q的坐標為(

3

，1)．
把x=

3

代入y=

4 3

3x

，得y=

4

3

≠1．
∴反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過矩形OABC的對稱中心．

點評：此題主要考查矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識點的理解和掌握，此題綜合性強，有一定的拔高難度，屬于難題．