【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點E是AB上一點,點F是AD延長線上一點,且DF=BE,連接CE、CF.

(1)求證:CE=CF.

(2)在圖1中,若點G在AD上,且GCE=45°,則GE=BE+GD成立嗎?為什么?

(3)根據(jù)你所學(xué)的知識,運用(1)、(2)解答中積累的經(jīng)驗,完成下列各題,如圖2,在四邊形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,且∠DCE=45°.

若AE=6,DE=10,求AB的長;

若AB=BC=9,BE=3,求DE的長.

【答案】(1)證明見解析(2)成立(3)①12;②7.5

【解析】

(1)先判斷出∠B=CDF,進(jìn)而判斷出CBE≌△CDE,即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出∠BCE=DCF,進(jìn)而判斷出∠ECF=BCD=90°,即可得出∠GCF=GCE=45°,得出ECG≌△FCG即可得出結(jié)論;

(3)先判斷出矩形ABCH為正方形,進(jìn)而得出AH=BC=AB,

①根據(jù)勾股定理得,AD=8,由(1)(2)知,ED=BE+DH,設(shè)BE=x,進(jìn)而表示出DH=10-x,用AH=AB建立方程即可得出結(jié)論;

②由(1)(2)知,ED=BE+DH,設(shè)DE=a,進(jìn)而表示出DH=a-3,AD=12-a,AE=6,根據(jù)勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論.

1)在正方形ABCD中,

BC=CD,B=ADC,

∴∠B=CDF,

BE=DF,

∴△CBE≌△CDF,

CE=CF;

(2)成立,由(1)知,CBF≌△CDE,

∴∠BCE=DCF,

∴∠BCE+ECD=DCF+ECD,

∴∠ECF=BCD=90°,

∵∠GCE=45°,

∴∠GCF=GCE=45°,

CE=CF,GCE=GCF,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG,

GE=GF,

GE=DF+GD=BE+GD;

(3)如圖2,過點CCHADAD的延長線于H,

ADBC,B=90°,

∴∠A=90°,

∵∠CHA=90°,

∴四邊形ABCH為矩形,

AB=BC,

∴矩形ABCH為正方形,

AH=BC=AB,

①∵AE=6,DE=10,根據(jù)勾股定理得,AD=8,

∵∠DCE=45°,

由(1)(2)知,ED=BE+DH,

設(shè)BE=x,

10+x=DH,

DH=10-x,

AH=AB,

8+10-x=x+6,

x=6,

AB=12;

②∵∠DCE=45°,

由(1)(2)知,ED=BE+DH,

設(shè)DE=a,

a=3+DH,

DH=a-3,

AB=AH=9,

AD=9-(a-3)=12-a,AE=AB-BE=6,

根據(jù)勾股定理得,DE2=AD2+AE2,

即:(12-a)2+62=a2,a=7.5,

DE=7.5.

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分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

頻率

60≤x<70

30

0.15

70≤x<80

m

0.45

80≤x<90

60

n

90≤x<100

20

0.1

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