Question

如圖，AO是邊長為2的等邊△ABC的高，點D是AO上的一個動點（點D不與點A、O重合），以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE，連結BE并延長，交AC的延長線于點F．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）當△CEF為等腰三角形時，求△CEF的面積．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質．

【分析】（1）由△ABC和△CDE是等邊三角形，用“SAS”證得△ACD≌△BCE；

（2）首先作CP⊥BF于點P，由∠CBE=30°，求得CP的長，繼而求得答案．

【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形

∴AC=BC，∠ACB=60°，

同理可證CD=CE，∠DCE=60°，

∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，

 即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）由（1）得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒為直角三角形，且∠F=30°CF=CB=2，

又因為點D不與點A、O重合，

所以當△CEF為等腰三角形時，∠F只能為頂角，

如圖，作CP⊥BF于點P，

由∠CBE=30°，

得CP=BC=1，

因為CF=EF=2，

所以S_△CEF=×2×1=1．

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．