Question

已知雙曲線(xiàn)y=（k＞0），過(guò)點(diǎn)M（m，m）（m＞）作MA⊥x軸，MB⊥y軸，垂足分別是A和B，MA、MB分別交雙曲線(xiàn)y=（k＞0）于點(diǎn)E、F。

（1）若k=2，m=3，求直線(xiàn)EF的解析式；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OF，若∠BOF=22.5°，多邊形BOAEF的面積是2，求k值。

 

Answer 1

（1）直線(xiàn)EF解析式為y=﹣x+ ；（2）k=1 。

【解析】

試題分析：（1）將k的值代入確定出反比例解析式，將m的值代入確定出M坐標(biāo)，根據(jù)圖形得到E的橫坐標(biāo)與F的縱坐標(biāo)都為3，代入反比例解析式中確定出E與F坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)EF解析式為y=kx+b，將E與F坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線(xiàn)EF的解析式；

（2）連接EF，OM，OE，由M橫縱坐標(biāo)相等得到四邊形AOBM為正方形，由正方形的性質(zhì)及∠BOF=22.5°，得到三角形BOF、三角形FCO、三角形ECO及三角形AOE全等，三角形BOF的面積等于|k|的一半，表示出四個(gè)面積之和，即為五邊形BOAEF的面積，根據(jù)五邊形的面積為2列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值。

試題解析：（1）將k=2，m=3代入得：反比例解析式為y=，M（3，3），

∵MA⊥x軸，MB⊥y軸，

∴E的橫坐標(biāo)為3，F(xiàn)縱坐標(biāo)為3，

代入反比例解析式得：E（3，），F(xiàn)（，3），

設(shè)直線(xiàn)EF解析式為y=kx+b，

將E與F坐標(biāo)代入得：，

解得：，

則直線(xiàn)EF解析式為y=﹣x+；

（2）連接OM，EF，OE，OM與EF交于點(diǎn)C，

∵M（m，m），反比例解析式為y=，

∴E（m，），F(xiàn)（，m），即E與F關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，四邊形AOBM為正方形，

∵∠BOF=22.5°，

∴∠BOF=∠COF=∠EOC=∠AOE=22.5°，

由對(duì)稱(chēng)性得到∠FCO=∠ECO=90°，

在△BOF和△AOE中，

，

∴△BOF≌△AOE（ASA），

同理△BOF≌△COF，△COF≌△AOE，

∴BF=AE=，

又BM=AM=m，

∴S△BOF=m•=k，

∴S五邊形BOAEF=4S△BOF=2k=2，

則k=1。

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。